立方体の切り口が正六角形になるとき
正六角形の切り口は、入試で何度も出てくる形です。どこを通るのか、1辺と面積はいくつか、体積はどう分かれるかをまとめました。
6本の辺の真ん中を通る
辺AD・AE・EFの真ん中P・Q・Rを通る平面で切ると、平面はさらにFG・GC・CDの真ん中も通り、正六角形の切り口になります。この平面は対角線BHと垂直で、立方体の中心を通ります。
作図のときは、PQを引いたら向かい合う面にPQと平行な線を引く、をくり返します（作図の3つのルール）。
1辺の長さと面積
正六角形の1辺PQは、1辺6cmの直角二等辺三角形の斜辺です。正方形の対角線の半分と同じ長さで、6√2cmになります。
正六角形は、1辺6√2cmの正三角形6つに分けられます。
正三角形1つ：(6√2)²×√3÷4 = 72×√3÷4 = 18√3cm²
正六角形：18√3×6 = 108√3cm²（約187.1cm²）
√を使わずに考えるなら、正三角形ACFとの比が便利です。正三角形ACFの1辺は6√2の2倍なので、正六角形は正三角形ACFの 6÷4 = 1.5倍 です。
体積はちょうど半分
切る平面が立方体の中心を通るので、2つの立体は中心について点対称で合同です。体積はどちらも1728÷2 = 864cm³です。